재미있는 포물선 운동 - 골프와 곡사포 실제 사례

프롤로그

이번 글에서는 고전 역학으로 물체의 운동을 풀어보면서 물리학에 대한 상당한 흥미와 재미를 느끼게 하는 포물선 운동에 대해 자세히 알아보도록 하겠습니다.

포물선 운동

초기 속도 v₀이고 질량 m인물체가 지표면에 수직인 y 방향으로만 운동을 한다면 중력만 작용하고 다른 힘은 없으므로 힘과 속도 그리고 위치는 아래와 같은 수식으로 표시됩니다.

F = ma = −mg → 벡터 표기
v = v₀ − gt → 시간 t에 대한 적분
F = ma = −mg → 스칼라 표기
v = v₀ − gt → 시간 t에 대한 적분
y = y₀+ v₀t − 1/2·gt² → 시간 t에 대한 적분

여기서 g는 중력 가속도, v₀는 초기 속도, y₀는 초기 높이를 의미합니다. 일정 높이에서 떨어지는 물체의 자유낙하 운동은 v

t_c = (2y₀/ g)^1/2

신기하게도 물체 질량에 무관하게 초기 높이가 높을수록 땅에 떨어지는 데까지 걸리는 시간은 증가합니다.

그런데 물체의 초기 속도 방향이 수직이 아니고 지표면과 θ의 각을 이룬다면, 속도는 아래의 그림과 같이 x 성분과 y 성분으로 나뉘며 사인과 코사인 함수로 표시됩니다. 여기서도 중력은 지표면에 수직인 y 방향으로만 작용합니다.

v_x= v₀cos⁡θ
v_y= v₀sin⁡θ − gt
x = x₀ + v₀cos⁡θ·t
y = y₀ + v₀sin⁡θ·t − 1/2·gt²

포물선 운동

조금 더 간단히 하기 위해 물체의 초기 위치를 0이라고 하고, 시간 t를 수평 거리 x로 풀어서 수직 거리 y에 대입하면

t = x / (v₀cos⁡θ)
y = v₀sin⁡θ·t − 1/2·gt² = (tan⁡θ)·x − [g / (2·v₀²cos⁡²θ)]·x²

가 되어 전형적인 포물선 방정식이 되며, 물체가 포물선 운동을 하게 된다는 사실을 수식으로도 확인할 수 있습니다. 물체가 땅에 떨어지는 순간인 y = 0일 때의 x 값이 물체의 수평 이동 거리 R이며, 다음과 같이 정리됩니다.

R = (2·v₀²/ g)·sin⁡θcosθ = (v₀² / g)·sin⁡2θ --- (1)

위의 수식 (1)에서 알 수 있듯이 수평 이동 거리 R이 최대가 되기 위해서는 무엇보다도 초기 속도가 커야 하며, 지표면과 이루는 각도는 45도여야 합니다.

공기 저항력과 코리올리 힘

그러나 실제 상황에서는 공기 저항력과 지구 자전에 의한 코리올리 힘(Coriolis Force, 전향력)은 물론 풍향과 물체 자체의 회전까지 반영한 3차원 운동으로 설명해야 하는데, 수식은 더욱 복잡해집니다.

따라서 이번 글에서는 공기 저항력과 전향력에 대한 개념 정도만 공유하고, 세부 수식에 대한 내용은 생략하도록 하겠습니다.

물체의 속도가 클수록 공기 저항력도 커져서, 그 크기는 속도의 n승에 비례하며 작용 방향은 물체 운동 방향과 반대입니다. 보통 n은 2를 사용하며 k는 비례상수입니다. 비례 상수 k는 물체의 공기 저항 계수(Drag Coefficient), 공기의 밀도, 물체의 단면적 등으로 구성됩니다.

따라서 물체의 단면적이 작고 유선형으로 공기 저항 계수가 작을수록, 그리고 공기의 밀도가 낮을수록 공기 저항력은 감소하게 됩니다.

F = ma = −mg − kvⁿ+2mvxΩ 공기저항력과 전향력이 포함된 방정식

지구 자전에 의한 코리올리 힘, 즉 전향력은 지구의 자전 각속도 Ω와 물체의 속도 v의 벡터 외적(Cross Product)이며, 물체를 발사하는 위도에 따라 달라집니다.

북극에서 남쪽을 향해 물체를 발사한다면 전향력은 오른쪽을 향하고, 남극에서 북쪽으로 발사한 물체는 왼쪽으로 전향력이 작용합니다.

북극과 남극에서 전향력 크기가 가장 크며 적도에서 가장 작습니다. 물체의 속도 v와 지구의 자전 각속도 Ω의 벡터 외적이므로 전향력의 방향은 오른손 법칙을 따릅니다.

곡사포와 골프

포물선 운동이 실제 적용되는 대표적인 사례가 곡사포의 포탄과 클럽에 의해 타격된 골프공의 운동입니다.

포탄이 포물선 운동을 하는 곡사포

포탄의 발사 속도가 일정하다고 가정하면 발사각도, 전향력, 기온과 습도, 풍향 등을 정밀하게 계산하고 반영하여 발사해야만 목표를 정확하게 타격할 수 있는 것입니다.

골프 샷의 거리, 특히 드라이버의 거리를 늘이기 위해서는 위의 수식 (1)에서와 같이 제곱에 비례하는 초기 속도 v0를 크게 하는 것이 가장 중요하므로, 스윙할 때 클럽 헤드의 속도를 극대화해야 하는 것입니다.

다음으로 발사각도를 살펴보면, 골프공 표면의 딤플과 백스핀에 의해 타격 후 솟아오르기 때문에 수식에서의 45도가 아닌 약 10~20도 사이의 발사각에서 최대 거리를 얻을 수 있습니다.

드라이버로 골프공을 타격하는 모습

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