자유 낙하 운동 방정식: 공기저항 고려한 수식 정리까지

고전 역학의 기본 항목 중에 하나인 자유 낙하 운동!

이번 글에서는 쉬운 듯하지만 실제 풀어보면 상당히 어려운, 하지만 매우 재미있는, 자유 낙하 운동을 하는 물체와 공기 저항을 받으며 낙하는 물체에 대한 운동 방정식을 자세히 풀어보도록 하겠습니다.

공기 저항을 무시하면 공중에서 중력에 의해 지표면으로 자유 낙하하는 물체에 작용하는 힘은 중력 이외의 다른 힘은 없습니다.

따라서 물체에 작용하는 힘을 F, 물체의 질량을 m, 물체의 가속도를 a, 중력 가속도를 g라고 정의하면 운동 방정식은 아래와 같이 시작됩니다.

F = m·a = m·g

양변을 질량 m으로 나누면

a = g

중력가속도 g는 이 경우에 상수이므로 이것을 시간 t에 대해 적분하면 속도를 얻을 수 있습니다.

v = v_o + g·t

다시 시간 t에 대해 적분하면 자유 낙하하는 물체의 높이 y에 대한 식을 얻을 수 있습니다.

y = y_o + v_o·t + 1/2·g·t²

조금 더 간단히 하기 위해 초기 높이 y_o = h, 초기 속도 v_o = 0, 수직 방향으로 위쪽이 +y라고 가정하면 아래처럼 수직 방향에서의 물체 속도와 높이에 대한 방정식을 구할 수 있습니다.

v = - g·t

y = h - 1/2·g·t²

위 식을 시간 t에 대해 아래처럼 정리할 수 있습니다.

t = [ 2(h - y) / g ]^1/2

여기서 y = 0이라고 놓고 풀면, 물체가 자유 낙하하여 땅바닥에 떨어질 때까지의 걸린 시간 t는

t = (2·h/g)^1/2

가 되며, 그때의 속도도 아래와 같이 구할 수 있습니다.

v = - g·t = - (2·g·h)^1/2

하지만 에너지 보존 법칙을 이용하면 조금 더 쉽고 간단하게 동일한 수식을 얻을 수 있습니다. 초기의 위치 에너지가 모두 운동 에너지로 전환되므로 물체의 에너지 E와 관련된 수식은 아래와 같이 정리됩니다.

E = m·g·h = m·g·y + 1/2·m·v²

땅바닥에 떨어지는 순간 y = 0일 때에는 조금 더 간단해지며, 위에서 구한 식과 동일한 운동 방정식을 얻을 수 있습니다.

E = m·g·h = 1/2·m·v²

v = - (2·g·h)^1/2 = - g·t = - g·(2·h/g)^1/2

t = (2·h/g)^1/2

물체의 낙하 운동

실제로는 낙하 속도가 작지 않으므로 공기 저항을 무시할 수 없습니다.

물체 속도의 제곱에 비례하는 공기저항력 F = -k'·v2의 경우에는 더욱 복잡해지는데, 이번 글에서는 생략하도록 하겠습니다.

공기 저항을 받으면서 낙하하는 물체의 운동을 조금 더 간단히 풀기 위해 물체의 운동 방향을 +로 보면, 반대 방향인 - 방향으로 물체에 작용하는 공기 저항력은 물체의 속도에 비례하여 F = - k·v 가 되고, 여기서 k는 비례 상수입니다.

기본 운동 방정식은 공기 저항력이 추가되어 아래와 같이 정리됩니다.

F = m·a = m·g - k·v

가속도가 시간에 대한 속도의 미분 값이므로 아래와 같이 다시 정리할 수 있습니다.

a = dv / dt = g - v·k / m

양변을 적분하면 우리가 쉽게 풀 수 있는 적분 방정식이 나타납니다.

∫ dv / ( g - v·k / m) = ∫ dt

여기서 적분 구간은 속도 v_o→ v, 시간 0 → t이며 양변을 적분하면 시간 t에 대한 로그 함수를 얻을 수 있습니다.

t = - m/k·ln [ (g - v·k/m) / (g - v_o·k/m) ]

양변에 e를 취하고 속도 v로 정리하면 최종 공기 저항을 받으며 낙하하는 물체의 속도를 다음과 같이 구할 수 있습니다.

v = mg/k - (mg/k - v_o)·e^-k/m·t

여기에서 재미있는 점은 시간 t가 무한대로 지나가는 경우의 물체의 속도가 v = mg/k로 상수가 되어 힘이 작용하지 않는 등속도가 되는데, 이를 종단속도(Terminal Velocity)라고 부릅니다.

다시 정리하면 m·g = k·v 가 되어, 물체에 작용하는 중력에 의한 힘과 공기저항에 의한 반대 방향의 힘이 같아져 평형을 이루기 때문에 더 이상 가속되지 않고 일정한 등속운동을 하게 되는 것입니다.