자유 낙하 운동 방정식: 공기저항 고려한 수식 정리까지
자유 낙하 운동 고전 역학의 기본 항목 중에 하나인 자유 낙하 운동! 이번 글에서는 쉬운 듯하지만 실제 풀어보면 상당히 어려운, 하지만 매우 재미있는, 자유 낙하 운동을 하는 물체와 공기 저항을 받으며 낙하는 물체에 대한 운동 방정식을 자세히 풀어보도록 하겠습니다. 순수 자유 낙하 운동 방정식 공기 저항을 무시하면 공중에서 중력에 의해 지표면으로 자유 낙하하는 물체에 작용하는 힘은 중력 이외의 다른 힘은 없습니다. 따라서 물체에 작용하는 힘을 F, 물체의 질량을 m, 물체의 가속도를 a, 중력 가속도를 g라고 정의하면 운동 방정식은 아래와 같이 시작됩니다. F = m·a = m·g 양변을 질량 m으로 나누면 a = g 중력가속도 g는 이 경우에 상수이므로 이것을 시간 t에 대해 적분하면 속도를 얻을 수 있습니다. v = v o + g·t 다시 시간 t에 대해 적분하면 자유 낙하하는 물체의 높이 y에 대한 식을 얻을 수 있습니다. y = y o + v o ·t + 1/2·g·t 2 조금 더 간단히 하기 위해 초기 높이 y o = h, 초기 속도 v o = 0, 수직 방향으로 위쪽이 +y라고 가정하면 아래처럼 수직 방향에서의 물체 속도와 높이에 대한 방정식을 구할 수 있습니다. v = - g·t y = h - 1/2·g·t 2 위 식을 시간 t에 대해 아래처럼 정리할 수 있습니다. t = [ 2(h - y) / g ] 1/2 여기서 y = 0이라고 놓고 풀면, 물체가 자유 낙하하여 땅바닥에 떨어질 때까지의 걸린 시간 t는 t = (2·h/g) 1/2 가 되며, 그때의 속도도 아래와 같이 구할 수 있습니다. v = - g·t = - (2·g·h) 1/2 하지만 에너지 보존 법칙을 이용하면 조금 더 쉽고 간단하게 동일한 수식을 얻을 수 있습니다. 초기의 위치 에너지가 모두 운동 에너지로 전환되므로 물체의 에너지 E와 관련된 수식은 아래와 같이 정리됩니다. E = m·g·h = m·g·y...