숫자의 신비로움: 홀수 합 및 제곱 암산의 수학 마법

인터넷 동영상이나 블로그를 보면 조금은 복잡한 계산 문제를 간단하지만 이상한 방법으로 푸는 내용을 종종 볼 수 있습니다. 이번 글에서는 신비한 수학과 숫자 세계에서 정말 이상한 사례 몇 가지를 선정해 자세히 알아보도록 하겠습니다.

홀 수 합계 간단히 구하기

아래와 같은 홀수 수열은 마지막 숫자가 몇 번째인지만 알면 일일이 더하지 않고도 제곱 값 암산을 통해 쉽게 그 합계를 구할 수 있습니다.

1, 3, 5 → 3² = 9

1, 3, 5, 7 → 4² = 16

1, 3, 5, 7, 9 → 5² = 25

1, 3, 5, 7, 9, 11 → 6² = 36

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 → 7² = 49

신비하고 이상해 보이지만, 수열의 합계를 구하는 방법만 잘 알고 있다면 손쉽게 분석하여 그 원리를 확인할 수 있습니다.

홀수 : 1, 3, 5, 7,..., 2n - 1 (여기서 n = 1, 2, 3, 4..... 양의 정수)

그런데 우리가 잘 알고 있는 수열 1, 2, 3, 4, 5,..., n에서 임의의 n까지의 전체 합계를 구하는 계산식이 n·(n+1)/2 이므로

임의의 n에 대한 2n -1까지의 홀수 합계는 

2·n·(n+1)/2 - n = n² + n - n = n² 

가 되므로 n번째까지의 홀 수 합계는 결국 n의 제곱 값으로 쉽게 구할 수 있는 것입니다.

제곱 값 간단히 구하기

두 자리 숫자의 제곱 값을 몇 개 예를 들어 계산하면 아래와 같습니다. 13 x 13, 22 x 22, 34 x 34, 45 x 45, 53 x 53으로 직접 계산하거나 컴퓨터나 계산기의 제곱 함수를 이용하여 계산할 수도 있습니다. 

13² = 169

22² = 484

34² = 1156

45² = 2025

53² = 2809

그런데 이 계산은 제곱을 의미하는 숫자 2를 활용하여 암산으로 손쉽게 하는 방법이 있습니다. 이를 자세히 설명하면 아래와 같습니다.

13² = 169 ← 3의 제곱인 9를 1의 자리에, 1과 3을 곱하고 다시 2를 곱하면 나오는 6을 10의 자리에, 1의 제곱인 1을 100의 자리에 놓으면 최종 169로 정답이 됩니다.

즉 1의 자리 숫자의 제곱을 1의 자리에, 1의 자리와 10의 자리 숫자를 곱한 후 다시 2를 곱하여 10의 자리에, 10의 자리 숫자를 제곱하여 100의 자리에 놓으면 바로 전체 두 자리 숫자에 대한 제곱값을 구할 수 있는 것입니다.

이렇게 해서 나머지 제곱 값을 구해보면 아래와 같습니다.

22² = 484 ← 2의 제곱 4를 1의 자리에, 2와 2를 곱하고 다시 2를 곱하면 나오는 8을 10의 자리에, 2의 제곱인 4를 100의 자리에 놓으면 484로 정답이 됩니다.

342 = 1156 ← 4의 제곱 16에서 6을 1의 자리에 남기고 1은 10의 자리로 올립니다.

3과 4를 곱하고 다시 2를 곱한 24에서 2는 100의 자리로 넘기고, 4에 10의 자리로 넘어온 1을 더하면 10의 자리는 최종적으로 5, 3의 제곱 9에 백의 자리로 넘어온 2를 더하면 최종 100의 자리는 11이 됩니다.

452 = 2025 ← 5의 제곱 25에서 5를 1의 자리로 남기고 2는 10의 자리로 올립니다.

4와 5를 곱하고 다시 2를 곱하면 나오는 40에서 4는 100의 자리로 넘기고, 0에 10의 자리로 넘어온 2를 더하면 2, 4의 제곱 16에 100의 자리로 넘어온 4를 더하면 20입니다.

532 = 2809 ← 3의 제곱 9, 3과 5를 곱하고 다시 2를 곱하면 나오는 30에서 3은 100의 자리로 넘기고 0을 10의 자리에 남깁니다.

5의 제곱 25에 100의 자리로 넘어온 3을 더하면 28이 되어 최종 2089가 됩니다.

이와 같이 두 자리 숫자를 간단한 구구단으로 풀 수 있는 것이 신비하고 이상해 보이지만, 임의의 두 자리 숫자 ab × ab를 풀어 보면 ab × ab = a² + 2ab + b² 이므로, b²가 1의 자리, 2ab는 10의 자리, a²를 100의 자리로 생각하면 위에서 계산한 방법과 동일하게 됩니다.

신기한 수학

정말 신비하고 이상한 숫자

누가 어떻게 처음에 발견했는지는 잘 알려져 있지 않지만, 142857이라는 숫자는 앞에서 얘기했던 유사한 방법으로는 절대로 설명이 불가능한 정말 신비하고 이상한 숫자입니다. 우선 142857에 1부터 6까지 차례로 곱하면

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

을 얻을 수 있는데 이상한 것은 계산한 결과가 처음 142587 숫자에서 순서만 약간 틀리다는 것입니다. 그런데 7을 곱하면 드디어 이러한 패턴이 깨지고 전혀 다른 숫자가 나타나게 됩니다.

142857 x 7 = 999999

하지만 142857 숫자를 나누어 약간 다른 계산을 해보면 

142 + 867 = 999

14 + 28 + 57 = 99

로 모두 9로 이루어진 숫자가 계산 결과로 나타나게 됩니다. 숫자 142857을 제곱하면 얻어지는 숫자

142857 x 142857 = 20408122449

에서 아래 같이 나누어 덧셈을 계산하면 초기 숫자 142857을 다시 얻을 수 있습니다.

20408 + 122449 = 142857

수학은 어려운 것이 아니라 신기하고 신비로운 대상이 아닐까요?

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