페르마의 원리로 증명하는 스넬의 법칙과 일상 속 광학 원리

이전에 업로드한 글에서 굴절률이 다른 두 매질을 통과하는 빛은 스넰의 법칙(Snell's law)을 따르며, 각 매질의 굴절률에 의해 입사각과 굴절각의 관계가 결정된다고 설명하였습니다.

이번 글에서는 이것을 조금 더 수학적으로 접근하여 설명하고 증명할 수 있는 페르마의 원리(Fermat's principle)에 대해 알아보도록 하겠습니다.

페르마의 원리

프랑스의 저명한 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)가 제안한 페르마의 원리는 빛이 두 지점 사이를 이동할 때 이동 시간이 정지값(stationary value)이 되는 경로를 따른다는 원리입니다. 일반적인 굴절 문제에서는 이 경로가 최소 시간이 되는 경로로 나타납니다.

즉 빛은 여러 가능한 경로 가운데 이동 시간이 최소가 되는 경로를 선택하는 것처럼 보인다는 것입니다.

이후 수학자 해밀턴(William Rowan Hamilton; 1805-1865)에 의해 더욱 일반화되어, 물리계의 실제 운동은 작용(Action)이 정지값이 되는 경로를 따른다는 해밀턴의 원리(Hamilton's principle), 즉 최소 작용의 원리(principle of stationary action)로 발전되었습니다.

이 페르마의 원리와 피타고라스 정리 그리고 간단한 삼각함수를 이용하면 스넰의 법칙을 매우 간단하게 수학적으로 증명할 수 있습니다.

스넰의 법칙 증명

아래의 그림과 같이 굴절률이 n_i인 매질의 P_i 위치에서 굴절률이 n_r인 매질의 P_r 위치로 빛이 지나갈 때, 빛이 경계면을 통과하는 지점을 나타내는 수평 거리 x를 변수로 두면 빛의 경로를 1차원 방정식으로 간단하게 나타낼 수 있습니다.

여기서

θ_i,r : 입사각, 굴절각

h, d, w : P_i,r 위치에 대한 y 방향 거리, x 방향 거리 등입니다.

적색 화살표로 표시되는 빛의 전체 이동 거리 R은 피타고라스 정리에 의해

R = ( h² + x² )^1/2 + [ d² + ( w - x )² ]^1/2

가 됩니다.

굴절률이 다른 두 매질을 통과하는 빛

이때 각 매질에서 빛의 속도는 굴절률이 1인 진공에서의 빛의 속도 c와 매질의 굴절률로 나타낼 수 있는데

v_i = c / n_i v_r = c / n_r

이므로 빛이 이동하는 데 걸리는 전체 시간 T는 각 매질에서의 이동 거리를 해당 매질에서의 빛의 속도로 나누면 구할 수 있습니다.

T = n_i·( h² + x² )^1/2 / c + n_r·[ d² + ( w - x )² ]^1/2 / c

이 시간 T가 정지값이 되는 조건은 dT / dx = 0으로부터 구할 수 있습니다. x에 대해 미분한 뒤 빛의 속도 c는 상수이므로 공통 인자로 제외하면

dT / dx = n_i· x / ( h² + x² )^1/2 - n_r·( w - x ) / [ d² + ( w - x )² ]^1/2 = 0

을 얻을 수 있습니다. 여기서 각 항의 분모와 분자를 잘 살펴보면 삼각함수의 정의를 이용해 간단히 정리할 수 있으므로

n_i·sin θ_i - n_r·sinθ_r = 0

결국 스넰의 법칙과 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

n_i / n_r = sinθ_r / sinθ_i

빛의 이동 시간이 정지값이 되는 경로를 따른다는 페르마의 원리로부터 스넰의 법칙을 수학적으로 유도할 수 있는 것입니다. 또한 동일한 매질의 경계에서 반사되는 경우에는 반사 전후의 매질이 같으므로 n_i = n_r이고, 이를 같은 방식으로 적용하면 입사각과 반사각이 같다는 반사의 법칙도 설명할 수 있습니다.

생활 속의 페르마 원리 (스넰의 법칙)

빛은 이동 시간이 정지값이 되는 경로를 따른다는 페르마의 원리와 빛의 입사각과 굴절각이 매질의 굴절률에 따라 결정된다는 스넰의 법칙은 서로 밀접하게 연결되어 있다는 사실을 알았습니다.

그렇다면 우리의 생활 속에서는 이러한 원리와 법칙이 어떻게 적용되고 있을까요?

1. 입사각과 반사각이 같기 때문에 우리는 거울을 통해 자신의 얼굴을 쉽게 볼 수 있으며, 평면거울의 높이가 자신의 키의 절반 정도만 되어도 전신을 볼 수 있습니다. 교통 안전을 위한 볼록거울에도 빛의 반사 법칙이 적용됩니다.

2. 볼록렌즈와 오목렌즈 등과 같이 다양한 모양과 굴절률을 가진 렌즈와 기하학적인 거울을 사용하는 광학 기기에도 이러한 법칙이 적용됩니다. (카메라, 망원경, 디스플레이 장치 등)

3. 디지털 신호를 광신호로 변환한 뒤 광섬유 케이블을 통해 전송하는 광통신 시스템에서는 빛이 광섬유 내부에서 전반사되도록 코어와 클래딩의 굴절률을 다르게 설계합니다. 이를 통해 빛을 장거리까지 효율적으로 전달할 수 있으며, 광신호의 손실을 최소화할 수 있습니다.