페르마의 원리로 증명하는 스넬의 법칙과 일상 속 광학 원리
이전에 업로드한 글에서 굴절률이 다른 두 매질을 통과하는 빛은 스넰의 법칙(Snell's law)을 따르며, 각 매질의 굴절률에 의해 입사각과 굴절각의 관계가 결정된다고 설명하였습니다. 이번 글에서는 이것을 조금 더 수학적으로 접근하여 설명하고 증명할 수 있는 페르마의 원리(Fermat's principle)에 대해 알아보도록 하겠습니다. 페르마의 원리 프랑스의 저명한 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)가 제안한 페르마의 원리는 빛이 두 지점 사이를 이동할 때 이동 시간이 정지값(stationary value)이 되는 경로를 따른다는 원리입니다. 일반적인 굴절 문제에서는 이 경로가 최소 시간이 되는 경로로 나타납니다. 즉 빛은 여러 가능한 경로 가운데 이동 시간이 최소가 되는 경로를 선택하는 것처럼 보인다는 것입니다. 이후 수학자 해밀턴(William Rowan Hamilton; 1805-1865)에 의해 더욱 일반화되어, 물리계의 실제 운동은 작용(Action)이 정지값이 되는 경로를 따른다는 해밀턴의 원리(Hamilton's principle), 즉 최소 작용의 원리(principle of stationary action)로 발전되었습니다. 이 페르마의 원리와 피타고라스 정리 그리고 간단한 삼각함수를 이용하면 스넰의 법칙을 매우 간단하게 수학적으로 증명할 수 있습니다. 스넰의 법칙 증명 아래의 그림과 같이 굴절률이 n i 인 매질의 P i 위치에서 굴절률이 n r 인 매질의 P r 위치로 빛이 지나갈 때, 빛이 경계면을 통과하는 지점을 나타내는 수평 거리 x를 변수로 두면 빛의 경로를 1차원 방정식으로 간단하게 나타낼 수 있습니다. 여기서 θ i,r : 입사각, 굴절각 h, d, w : P i,r 위치에 대한 y 방향 거리, x 방향 거리 등입니다. 적색 화살표로 표시되는 빛의 전체 이동 거리 R은 피타고라스 정리에 의해 R = ( h 2 + x 2 ) 1/2 + [ d ...